persamaan lienar satu variabel

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Eksplisit

SPLK Eksplisit
Bentuk umum SPLK eksplisit ditulis sebagai berikut:
dengan a, b, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.

Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLK Eksplisit adalah sebagai berikut:

1. Substitusikan persamaan linear y = ax + b ke persamaan kuadrat y = px² + qx + r, diperoleh
         ax + b = px² + qx + r
     px² + (q - a)x + (r - b) = 0, dengan menggunakan pemfaktoran atau rumus ABC diperoleh nilai-nilai x (jika ada).
   
   
2. Nilai-nilai x yang didapat dari langkah (1) disubtitusikan ke persamaan y = ax + b sehingga diperoleh nilai y. Pasangan nilai (x, y) merupakan himpunan penyelesaian SPLK.
   

Banyak anggota himpunan penyelesaian pada persamaan kuadrat px² + (q - a)x + (r - b) = 0 dapat ditentukan dengan menggunakan diskriminan yang dinotasikan dengan D, dimana D = b² - 4ac.
Diskriminan dari px² + (q - a)x + (r - b) = 0 adalah D = (q - a)² - 4p(r - b).
Jika D > 0 maka SPLK mempunyai dua anggota himpunan penyelesaian.
Jika D = 0 maka SPLK mempunyai satu anggota himpunan penyelesaian.
Jika D < 0 maka SPLK tidak mempunyai anggota himpunan penyelesaian.

Pasangan nilai (x, y) yang merupakan himpunan penyelesaian SPLK dapat ditafsirkan secara Geometri sebagai koordinat titik potong antara garis y = ax + b dengan parabola y = px² + qx + r. Kedudukan garis terhadap parabola dapat ditentukan dengan nilai diskriminan D = (q- a)² - 4p(r - b).
Jika D > 0 maka garis memotong parabola di dua titik yang berlainan.
Jika D = 0 maka garis memotong parabola tepat di satu titik atau dikatakan garis menyinggung parabola
Jika D < 0 maka garis tidak memotong maupun menyinggung parabola.

Contoh 1

Tentukan banyak anggota himpunan penyelesaian SPLK di bawah ini.

a. y = x + 7
    y = x² + 4x - 12

   Jawab :

   Substitusikan persamaan y = x + 7 ke persamaan y = x² + 4x - 12 diperoleh
                  x + 7 = x² + 4x - 12
   x² + 3x - 19 = 0
                    D = 3² - 4(1)(-19)
                    D = 9 + 76
                    D = 85

                           Karena D > 0, jadi SPLK mempunyai 2 anggota himpunan penyelesaian.
                         

b. y = -2x + 5
    y = x² + 6x + 21
    Jawab :

    Substitusikan persamaan y = -2x + 5 ke persamaan y = x² + 6x + 21 diperoleh
                -2x + 5 = x² + 6x + 21
   x² + 8x + 16 = 0
                     D = 8² - 4(1)( 16)

                     D = 64 - 64
                    D = 0
   Karena D = 0, jadi SPLK mempunyai 1 anggota himpunan penyelesaian.

c. y = 3x - 4
    y = x² + 6x + 9
    Jawab : 

   Substitusikan persamaan y = 3x - 4 ke persamaan y = x² + 6x + 9 diperoleh
                   3x - 4 = x² + 6x + 9
     x² + 3x + 13 = 0
                      D = 3² - 4(1)( 13)
                      D = 9 - 52
                      D = -43
   Karena D < 0, jadi SPLK tidak mempunyai anggota himpunan penyelesaian.

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian SPLK y = 2x + 8
 y = x² + 4x
Jawab:
Substitusikan persamaan y = 2x + 8 ke persamaan y = x² + 4x, diperoleh
              2x + 8 = x² + 4x                                 
    x² + 2x - 8 = 0
(x + 4)(x - 2) = 0
x = -4 atau x = 2
    x = -4   y = 2(-4) + 8 = 0
    x = 2    y = 2(2) + 8 = 12
Himpunan penyelesaian ={(-4, 0), (2, 12)}

Contoh 3

Diketahui persamaan garis y = x + 2 dan persamaan parabola y = x² - 2x - 8.
Tentukan: a. koordinat titik potong antara garis dan parabola
                 b. sketsa grafiknya.
Jawab:
a. Substitusikan persamaan garis y = x + 2 ke persamaan parabola y = x² - 2x - 8, diperoleh
                    x + 2 = x² - 2x - 8                            
       x² - 3x - 10 = 0
     (x + 2)(x - 5) = 0
      x = -2 atau x = 5
         x = -2   y = -2 + 2 = 0
         x = 5    y = 5 + 2 = 7     
         Koordinat titik potong antara garis dan parabola adalah (-2, 0) dan (5, 7)

b. Grafik

    y = x + 2

x	0	-2
y	2	0

                                                           
    y = x² - 2x - 8

x	0	-2 atau 4	1
y	-8	0	-9